明史 39

六十零度八七五，以四十四度黄赤道内外矢二度五十一分八十一秒(又为赤道二弦差，前立成中取之。)减之，余五十八度三十五分六十九秒，(即赤道小弦。)倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，为日行百刻度。(又术：倍黄赤道内外矢得五度零三分六十二秒，以减全径一百二十一度七十五分，亦得一百一十六度七十一分三十八秒，三因加一度，为日行百刻度，亦同。)置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之为实，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒为法除之，得四刻一十三分七十五秒，为出入差刻。置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒减之，(因冬至后四十四度，黄道在赤道外，故减。)余二十零刻八十六分二十五秒，为半昼刻。倍之得四十一刻七十二分半，为昼刻。以昼刻减百刻，余五十八刻二十七分半，为夜刻。(又术：置出入差刻四刻一十三分七十五秒，倍之，得八刻二十七分半，以减春秋分昼夜五十刻，得四十一刻七十二分半，为昼刻。以倍刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，为夜刻。昼减故废加，余仿此。)

　　(表格略)

　　右《历草》所载昼夜刻分，乃大都即燕京晷漏也。夏昼、冬夜极长，六十一刻八十四分，冬昼、夏夜极短，三十八刻一十六分。明既迁都于燕，不知遵用。惟正统己巳奏准颁历用六十一刻，而群然非之。景泰初仍复用南京晷刻，终明之世未能改正也。

 

50. 译文

 

　　太阳盈缩平立定三差的来源冬至前后是太阳运行速度减速结束加速开始的象限，到春分共八十八日九十一刻，取整数。

　　切分为六段，每段各有十四日八十二刻。

　　取整数。

　　各段实测到的太阳运行度数，与平均速度相减，余数就是积差。

　　将各段的累积差敷，除以各段的累积日敷，就是各段的日平均差。

　　将各段的日平均差，舆后一段的日平均差相减，就是一差。

　　将一差舆后一段的一差相减，就是二差。

　　将第一殷的日平差四百七十六分二十五秒作为泛平积。

　　将第一段的一差三十八分四十五秒，减去第二段的二差一分三十八秒，余三十七分o七秒，就是泛平积差。

　　另将第一段的二差一分三十八秒折半，得六十九秒，就是泛立积差。

　　将泛平积差三十七分o七秒，加上泛平积四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，就是定差。

　　将泛平积差三十七分O七秒，减泛立积差六十九秒，余三十六分三十八秒作为被除数，用每段日数十四日八十二刻为除数与之相除，得二分四十六秒，就是平差。

　　以泛立积差六十九秒作为被除数，用每段日敷作为除数与之相除二次，得三十一微，就是立差。

　　夏至前后是太阳运行速度加速结束速减速开始的象限，到秋分共九十三日七十一刻，取整数。

　　切分为六段，每段各有十五日六十二刻。

　　取整数。

　　各段实测到的太阳运行度数，与平均速度相减，余数就是积差。

　　推算日平差、一差、二差的方法，与减速结束加速开始的象限相同。

　　将第一段的日平差四百五十一分九十二秒作为泛平积。

　　将第一段的一差三十六分四十七秒，减去第一段的二差一分三十三秒，余三十五分十四秒，就是泛平积差。

　　另将第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，就是泛立积差。

　　将泛平积差三十五分十四秒，加上泛平积四百五十一分九十二秒，共四百八十七分O六秒，就是定差。

　　将泛平差三十五分十四秒，减去泛立积差六十六秒五十微，余三十四分四十七秒五十微作为被除数，用每段日敷十五日六二作除敷与之相除，得二分二十一秒，就是平差。

　　将泛立积差六十六秒五十微作为被除数，用每段的日敷作为除数舆之相除二次，得二十七微，就是立差。

　　凡是求太阳运行度敷的增减，用所求时段的始末日数乘以立差，得数再加平差，再乘始末日数，得敷再减定差，余数再乘以始末日敷，就是增减的度敷的累积数。

　　太阳运行速度超过平均敷的时段以八十八日九O九二二五运行一个象限，低于平均敷的时候以九十三日七一二o二五运行一个象限。

　　在此象限以下焉初，在象限以上逆推减去半年剩下的是末。

　　盈初是从冬至往后顺推，缩末是从冬至往前逆推，它们距冬至的距离相同。

　　所以盈积的度敷相同。

　　缩初是从夏至往后顺推，盈末是从夏至往前逆推，它们距夏至的距离相同，所以缩减的度数相同。

　　盈缩招差，本来是一种象限的推算方法。

　　如太阳运行速度超过平均敷的时段，以八十八日九十一刻为一个象限，低于平均敷的时段，则以九十三日七十一刻为一个象限。

　　现在只作九个象限，是举此作为例子。

　　图中九行格子中的定差本敷，是被减数。

　　斜线似上的平差立差敷，是减敷。

　　斜残以下格子中的定差，是减后的余敷。

　　假如定差为一万，平差为一百，立差为一。

　　现在求第九象限的方法是，以象限敷九乘定差得九万作为被减数。

　　另外用平差，以九乘两次，得八千一百。

　　将立差用九乘三次，得七百二十九。

　　两敷相加得八千八百二十九作为减数。

　　将被减数和减数相减，余数焉八万一千一百七十一，就是第九象限的累积数。

　　另外一种方法是，以九乘平差得九百，又以九乘立差两次得八十一，合并两数得九百八十一作为减数，定差一万作为减数，两数相减，余九千零一十九，就是第九象限末位所写的定差。

　　遭时再以九乘余数，得八万一千一百七十一，就是第九象限的累积数，与前一种方法的得敷相同。

　　只是前一种方法是先乘后减，后一种是先减后乘，其道理是一样的。

　　按：《授时历》对于日月五星运行度数的增减，都是用垛积招差的方法来计算，这种方法巧妙地与天体的运行相合，与西方人用小轮推算的方法，殊途同归。

　　然而传世的各种算术书，都没有记载这种方法，《历草》记载了这种方法，但没有谈它的道理。

　　宣城梅文鼎为此作了图解，对于平差、立差的道理，垛积的方法，都有解说阐明其所以然。

　　有专书流行于世，不能详细抄录，只是摘录了《招差图说》，以说明他创立这种方法的大意而已。

　　凡是推算敷据衰盈初缩末：将立差三十一微，乘以六，得一秒八十六微，就是加分立差。

　　将平差二分四十六秒，加倍，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十三秒八十六微，就是平立合差。

　　将定差五百一十三分三十二秒，减平差二分四十六秒，再碱立差三十一微，剩五百一十分八十五秒六十九微，就是加分。

　　缩初盈末：将立差二十七微，乘以六，得一秒六十二微，就是加分立差。

　　将平差二分二十一秒，加倍，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，就是平立合差。

　　将定差四百八十七分零六秒，减平差二分二十一秒，再减立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，就是加分。

　　以上所推算的，都是象限第一天的数据。

　　推算次日，都以加分立差，加平立合差，就是次日的平立合差。

　　以平立合差减这一日的加分，就是次日的加分。

　　盈积和缩减都相同。

　　将加分累计，就是盈积和缩减的累计数，其敷据都见于数据表。

　　月亮运行快慢平立定三差的来源月亮运行一周焉二十七日五十五刻四六，测量分焉四象，每象各分七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，共三百三十六限，而四象合为一周。

　　以四象作为除数，舆旋转一周的日敷相除，每象得六日八八八六五，再分为七段，每段下实测月亮运行快慢的数据，再与平均速度相减，以求积差。

　　以各段的积差作为被除数，以各段的积限作为除数与之相除，就是各段、限的平均差。

　　将各段、限的平均差，与后段相减就是一差。

　　将一差与后段一差相减就是二差。

　　将第一段的限平差十分七二六作为泛平积。

　　将第一段一差四十七秒七六，减第一段二差九秒三六，余三十八秒四十微，就是泛平积差。

　　另外将第一段的二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，就是泛立积差。

　　以泛平积差三十八秒四十微，加泛平积十分七二六，得十一分一十一秒，就是定差。

　　将泛平积差三十八秒四十微，减泛立积差四秒六十八微，余三十三秒七十二微作为被除数，以十二限作为除数与之相除，得二秒八十一微，就是平差。

　　将泛立积差四秒六十八微作为被除数，以十二限作为除数，除二次，得三微二十五纤，就是立差。

　　凡是求月亮运行快慢，都以所求时段的起始日数乘每日十二限二十分，以在第八十四限以下马初，在此以上逆推减去一百六十八限的余数为末。

　　各根据初、末的限乘立差，得敷再加平差，再乘以初、末的限敷，得数再藏定差，余数再乘以初、末限敷，就是快慢的累积敷。

　　其初限是从最慢最快处顺推至后，末限是从最慢最快处逆推至前，它们舆最慢最快处的距离相同，所纵盈积的度数也相同。

　　月亮和太阳设立的方法相同，但太阳以定气确定象限，所以盈积和缩减的敷量不同。

　　月亮以平均速度确定象限，所以快慢原理相同。

　　推算数据表的方法：将立差三微二十五纤，乘以六，得十九微五十纤，就是损益立差。

　　将平差二秒八十一微，加倍，得五秒六十二微，再加损益立差十九微五十纤，共得五秒八十一纤，就是初限平立合差。

　　从这里开始逐次加上损益立差，就是每限的平立合差。

　　到第八十限之下，累积至二十一秒四一五，就是平立合差的最大值。

　　八十一限之下平立合差为一秒七八o九，八十二限之下平立合差焉一秒七八O八，到八十三限之下，平立合差将益分即增益数和损分即减损数从中分开，是益分的终结。

　　八十四限之下的平立合差，也将损分和益分从中分开，是损分的开始。

　　到八十六限下的平立合差，也是二十一秒四一五，从这里开始逐次减去损益立差，则每限的平立合差，到末限与初限相同。

　　将定差十一分十一秒，减去平差二秒八十一微，再减去立差三微二十五纤，余十一分零八秒十五微七十五纤，就是加分定差，也就是初限的损益分。

　　将损益分与逭一限的平立合差相加或相减，就是下一限的损益分。

　　将益分累加，损分累减，就是这一限下的迟疾度。

　　以八百二十分为一限的日率，累加八百二十分就是每限的日率。

　　以上都详见敷据表。

　　凡是五星都各自依据实际测量，将它们的运行度敷分焉八殷，来推求积差，大致和太阳月亮的方法一样。

　　将各段所测到的积差敷作为被除数，以每段的日数作为除数与之相除，就是泛平差。

　　以各段的泛平差舆下一段的泛平差相减，就是泛平较。

　　又以泛平较舆下一段的泛平较相减，就是泛立较。

　　将第一段的泛平较三十九秒一六二一，减这一段的泛立较六秒二四二一，余三十二秒九一九九，就是初段的平立较。

　　加上初段的泛平差十分五六七八零一，共得十分八十九秒七十微，就是定差。

　　秒设置在葛位。

　　将初段平立较差三十二秒九一九九，减泛立较的一半三秒一二一一，余二十九秒七九八八，除纵该段日敷十一日五十刻，得二秒五十九微十二纤，就是平差。

　　将泛立差的一半三秒一二一一，以该段日敷作为除数舆之相除两次，得二微三十六纤，就是立差。

　　以上是木星平立定三差的来源。

　　火星盈初缩末立差相减，平差相减。

　　泛平较前多后少，应加上泛立较。

　　将初段的泛平较六分一三九八四七二九六八七五，加泛立较十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八六五一五六二五，就是初日的下平立较。

　　将初段的泛平差八十二分二十秒六五七三四八四三七五，加初日的下平立较六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，就是定差。

　　将初日的下平立较六分二七一八二六五一五六二五，加泛立较的一半六秒五九八九六o九三七五，得六分三三七八一六一二五作为被除数，以该段的日敷相除，得八十三秒十一微八十九纤，就是平差。

　　将泛立较的一半六秒五九八九六o九三七五，用该段日敷七日六十二刻五十分作为除数除两次，得十一微三十五纤，就是立差。

　　火星缩初盈末平差负诚，立差相减。

　　取比较均匀的泛立较三十九秒五八二一三七五，减去一段的泛平较十三秒二六四八三一二五，余二十六秒三一七三零六二五就是减得的差敷，再加一段的泛平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，就是定差。

　　将减得的差数二十六秒三一七三零六二五，用该段的日敷十五日二十五刻相除，得一秒七二五七二五。

　　再将泛立较的一半十九秒七九一零六八七五，用该日数相除，得一秒二九七七t五。

　　两敷相加得三秒零二微三十五纤，就是乎差。

　　将泛立较的一半十九秒七九一零六八七五，用该段日敷十五日二五作除数除二次，得八微五十一纤，就是立差。

　　以上是火星平立定三差的来源。

　　土星盈历立差相加，平差相减。

　　将第一段的泛平较，减同段的泛立较，余五十秒九一七九七五，就是平立较。

　　用平立较，加本段泛平差，得十五分十四秒六十一微，就是定差。

　　将平立较，减泛立较的一半三秒七四二六七五，余四十七秒一七五三，再用本段日敷十一日五十刻相除，得四秒一十微二十二纤，就是平差。

　　将泛立较的一半，用本段的日敷除二次，得二微八十三纤，就是立差。

　　土星缩历立差相加，平差相减。

　　将第一段的泛平较，减同段的泛立较，余二十一秒七七二三七五，就是平立较。

　　用平立较加本段泛平差，得十一分o一秒七十五微，就是定差。

　　将平立较，减泛立较的一半四秒三七七四七五，余十七秒三九四九，用本段日数十一日五十刻作为除数相除，得一秒五十一微二十六纤，就是平差。

　　将泛立较的一半，用本段日数怍为除数除二次，得三微三十一纤，就是立差。

　　以上是土星平立定三差的来源。

　　将第一段的泛平较，与本段泛立较相减，余一秒八六八一七五就是平立较，再加泛平差，得三分五十一秒五十五微，就是定差。

　　将平立较与泛立较的一半一秒八六四七二五相减，余三十四纤，再以本段日敷十一日五十刻作为除数与之相除，得三纤，就是平差。

　　将泛立较的一半，用本段日数作为除数与之相除二次，得一微四十一纤，就是立差。

　　以上是金星平立定三差的来源。

　　水星立差相加，平差相减。

　　方法与金星相同，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纤，立差一微四十一纤。

　　以上是水星平立定三差的来源。

　　以上五星，都以立差作为末端，以平差作为根本，以定差作为总括。

　　五星各自根据段次取得立差，木土金水四星加上平差，只有火星碱去平差，各自根据日数的积累而得到积差，五星都城去定差，又各以积日相乘，得到各自寅测的度数。

　　五星的积日，都用比率，除以一周天的日敷得三百六十五度二十五分又四分之三。

　　各以周天度数的四分之一焉一象限，只有火星用象限的三分之一，与一象限相减焉盈初缩末限，加一象限为缩初盈末限。

　　之所以将度称为日，是为了各自取盈缩历乘除的方便，实际上积得的北极出地度即北纬四十度九十五分作为半弧背，用前述的割圆弧矢法，推得出地半弧弦为三十九度二十六分，这就是大三斜中股。

　　将测到的冬至夏至时的黄道赤道内外度二十三度九十分为半弧背，用前述的方法推算出内外半弧弦为二十三度七十一分。

　　又是黄道赤道大勾，又是小三斜弦。

　　将内外半弧弦自乘作为勾的幂，天圆半径自乘作为弦的幂，二幂相减，余数开方就得到股。

　　又用半径减股，余四度八十一分，就是冬至夏至出入矢，也是黄道赤道内外矢。

　　以夏至日太阳南至地平的七十四度二十六分半作为半弧背，求得太阳下至地平的半弧弦五十八度四十五分。

　　半径六十度八十七分半，是大三斜中弦。

　　将大三斜中股三十九度二十六分，乘以冬至夏至内外半弧弦二十三度七十一分作为被除数，用半径六十度八十七分半作为除数与之相除，得十五度二十九分，就是小三斜中股。

　　又是小股。

　　以小三斜中股十五股二十九分，被太阳下至地平半弧弦五十八度四十五减去，余四十三度十六分，就是大股。

　　以出入矢四庋八十一分，被半径六十度八十七分半减去，余五十六度o六分半，就是大股弦。

　　将大股弦乘以小股十五度二九作为被除数，用大股四十三度一六作为除数舆之相除，得十九度八十七分作为小弦，也就是冬至夏至出入差半弧弦。

　　根据冬至夏至出入差半弧弦，按法则求得冬至夏至出入差半弧背为十九度九十六分十四秒。

　　将冬至夏至出入差半弧背十九度九六一四，用冬至夏至黄道赤道内外半弧弦二十三度七十一分与之相除，得八十四分十九秒，就是度差分。

　　求黄道每度昼夜的时刻。

　　方法是：将所求的每度黄道赤道内外半弧弦，用冬至夏至出入差半弧背与之相乘作为被除数，用冬至夏至黄道赤道内外半弧弦作为被除数与之相除，就是每度出入差的半弧背。

　　另一种方法是：将黄道赤道内外半弧弦，用度差八十四分一十九秒与之相乘，也得到出入差半弧背。

　　在半径内减黄道赤道内外矢，即赤道二弦差，秋分昼夜五十刻诚去它，得四十一刻七十二分半，就是白画的时刻。

　　以加倍所得的时刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，就是夜晚的时刻。

　　白昼减，所以夜晚加，其余的与此相仿。

　　敷，也就是度数。

　　求冬至夏至差股及出入差。

　　方法是：将所测以上《历草》所记载的昼夜时刻，是大都即燕京的晷影漏刻。

　　夏天白昼、冬天夜晚最长是六十一刻八十四分，冬天白昼、夏天夜晚最短是三十八刻十六分。

　　明迁都到燕京以后，不知道遵循沿用。

　　只是在正统己巳年奏准颁布历法用六十一刻，而受到群起非难。

　　景泰初年仍然恢复使用南京的时刻，到明代结束也役能改正。

 

 

《志·卷十》

 

　　◎历四

　　大统历法二(立成)

　　立成者，以日月五星盈缩迟疾之数，预为排定，以便推步取用也。《元志》、《历经》步七政盈缩迟疾，皆有二术。其一术以三差立算者，即　布立成法也。其又术云，以其下盈缩分，乘入限分万约之，以加其下盈缩积者，用立成法也。而遣立成未载，无从入算。今依《大统历通轨》具录之。其目四：曰太阳盈缩，曰晨昏分，曰太阴迟疾，曰五星盈缩。(余详《法原》及《推步》卷中。按《元史》，至正十七年《授时历》成。十九年王恂卒，时历虽颁，然立成之数尚皆有定藁。郭守敬比类编次，整齐分秒，裁为二卷。而今钦天监本，载嘉议大夫太史令臣王恂奉敕撰。意者王先有藁，而郭卒成之欤？)

　　太阳盈初缩末限立成(冬至前后二象限同用)

　　(表格略)

　　晨分加二百五十分，为日出分。日周一万分，内减晨分为昏分。昏分减二百五十分，为日入分，又减五千分，为半昼分。故立成只列晨昏分，则出入及半昼分皆具，不必尽列也。

 

 

《志·卷十一》

 

　　◎历五

　　大统历法三上(推步)

　　大统推步，悉本《授时》，惟去消长而已。然《通轨》诸捷法，实为布算所须，其间次序，亦有与《历经》微别者。如气朔发敛，《授时》原分二章，今古合为一。《授时》盈缩差在日躔，迟疾差在月离，定朔、经朔离为二处。今则经朔后，即求定朔，于用殊便。其目七：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星，曰四余。

　　▲步气朔(发敛附)

　　洪武十七年甲子岁为元。(上距至元辛巳一百零四算。)

　　岁周三百六十五万二千四百二十五分，实测无消长。半之为岁周，四分之为气象限，二十四分之为气策。

　　日周一万。(即一百刻，刻有百分，分有百秒，以下微纤，皆以百递析。)

　　气应五十五万零三百七十五分。

　　置距算一百零四，求得中积三亿七千六百一十九万九千七百七十五分，加辛巳气应五十五万零六百分，得通积三亿七千六百七十五万零三百七十五分，满纪法六十去之，余为《大统》气应。

　　开应一十八万二千零百七十零分一十八秒。

　　置中积，加辛巳闰应二十零万二千零五十分，得闰积三亿七千六百四十零万一千八百二十五分，满朔实去之，余为《大统》闰应。

　　转应二十零万九千六百九十零分。

　　置中积，加辛巳转应一十三万零二百零五分，共得三亿七千六百三十二万九千九百八十分，满转终去之，余为《大统》转应。

　　交应一十一万五千一百零五分零八秒。

　　置中积加辛巳交应二十六万零三百八十八分，共得三亿七千六百四十六万零一百六十三分，满交终去之，余为《大统》交应。

　　按《授时历》既成之后，闰转交三应数，旋有改定，故《元志》、《历经》闰应二十零万一千八百五十分，而《通轨》载闰应二十零万二千零五十分，实加二百分，是当时经朔改早二刻也。《历经》转应一十三万一千九百零四分，《通轨》载转应一十三万零二百零五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。《历经》交应二十六万零一百八十七分八十六秒，《通轨》交应二十六万零三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。或以《通轨》辛巳三应，与《元志》互异，目为元统所定，非也。夫改宪必由测验，即当具详始末，何反追改《授时历》，自没其勤乎？是故《通轨》所述者，乃《授时》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初藁也。

　　通余五万二千四百二十五分。

　　朔策二十九万五千三百零五分九十三秒，一名朔宝。半之为望策，一名交望。又半之为弦策。

　　通闰一十零万八千七百五十三分八十四秒。

　　月闰九千零百六十二分八十二秒。

　　闰限一十八万六千五百五十二分零九秒。一名闰准。

　　盈初缩末限八十八万九千零百九十二分二十五秒。

　　缩初盈末限九十三万七千一百二十零分二十五秒。

　　转终二十七万五千五百四十六分，半之为转中。

　　朔转差一万九千七百五十九分九十三秒。

　　日转限一十二限二十。

　　转中限一百六十八限零八三零六零。以日转限乘转中。一名限总。

　　朔转限二十四限一零七一一四六。以日转限乘朔转差。

　　弦转限九十零限零六八三零八六五。以日转限乘弦策。一名限策。

　　交终二十七万二千一百二十二分二十四秒。

　　朔交差二万三千一百八十三分六十九秒。

　　气盈二千一百八十四分三十七秒五十微。

　　朔虚四千六百九十四分零七秒。

　　没限七千八百一十五分六十二秒五十微。

　　盈策九万六千六百九十五分二十八秒。

　　虚策二万九千一百零四分二十二秒。

　　土王策三万零四百三十六分八十七秒五十微。

　　宿策一万五千三百零五分九十三秒。

　　纪法六十万。(即旬周六十日。)

　　推天正冬至　置距洪武甲子积年减一，以岁周乘之为中积，加气应为通积，满纪法去之，至不满之数，为天正冬至。以万为日，命甲子算外，为冬至日辰。累加通余，即得次年天正冬至。

　　推天正闰余　置中积，加闰应，满朔策去之，至不满之数，为天正闰余。累加通闰，即得次年天正闰余。

　　推天正经朔　置冬至，减闰余，遇不及减，加纪法减之，为天正经朔。　无闰加五十四万三六七一一六。十二朔策纪法。有闰，加二十三万八九七七零九。十三朔实去纪法。满纪法仍去之，即得次年天正经朔　视天正闰余在闰限已上，其年有闰月。

　　推天正盈缩　置半岁周，内减其年闰余全分，余为所求天正缩历。如径求次年者，于天正缩历内减通闰，即得。减后，视在一百五十三日零九已下者，复加朔实，为次年天正缩历。

　　推天正迟疾　置中积，加转应，减去其年闰余全分，余满转终去之，即天正入转。视在转中已下为疾历，已上去之为迟历。如径求次年者，加二十三万七一一九一六，十二转差之积。经闰再加转差，皆满转终去之，迟疾各仍其旧。若满转中去之，为迟疾相代。

　　推天正入交　置中积，减闰余，加交应，满交终去之，即天正入交凡日。如径求次年者，加六千零八十二分零四秒，(十二交差内去交终。)经闰加二万九千二百六十五分七十三秒，十三交差内去交终。皆满交终仍去之，即得。

　　推各月经朔及弦望　置天正经朔策，满纪法去之，即得正月经朔。以弦策累加之，去纪法，即得弦望及次朔。

　　推各恒气　置天正冬至，加三气策，满纪法去之，即得立春恒日。以气策累加之，去纪法，即得二十四气恒日。

　　推闰在何月　置朔策，以有闰之年之闰余减之，余为实，以月闰为法而一，得数命起天正次月算外，即得所闰之月。闰有进退，仍以定朔无中气为定。如减余不及月闰，或仅及一月闰者，为闰在年前。

　　推各月盈缩历　置天正缩历，加二朔策，去半岁周，即得正月经朔下盈历。累加弦策，各得弦望及次朔，如满半岁周去之交缩，满半周又去之即复交盈。

　　推初末限　视盈历在盈初缩末限已下，缩历在缩初盈末限已下，各为初。已上用减半岁周为末。

　　推盈缩差　置初末历小余，以立成内所有盈缩加之乘之为实，日周一万为法除之，得娄数以加其下盈缩积，即盈缩差。

　　推各月迟疾历　置天正经朔迟疾历，加二转差，得正月经朔下迟疾历。累加弦策，得弦望及次朔，皆满转中去之，为迟疾相代。

　　推迟疾限　各置迟次历，以日转限乘之，即得限数。以弦转限累加之，满转中限去之，即各弦望及次朔限。如径求次月，以朔转限加之，亦满转中去之，即得。(又法：视立成中日率，有与迟疾历较小布相近者以减之，余在八百二十已下，即所用限。)

　　求迟疾差　置迟疾历，以立成日率减之，(如不及减，则退一位。)余以其下损益分乘之为实，八百二十分为法除之，得数以加其下迟疾积，即迟疾差。

　　推加减差　视经朔弦望下所得盈缩差、迟疾差，以盈遇迟、缩遇疾为同相并，盈遇疾、缩遇迟为异相较，各以八百二十分乘之为实，再以迟疾限行度内减去八百于二十分，为定限度为法，法除实为加减差。盈迟为加，缩疾为减，异名相较者，盈多疾为加，疾多于盈为减，缩多於迟减，迟多於缩加。

　　推定朔望　各置经朔弦望，以加减差加减之，即为定日。视定朔干名，与后朔同者月大，不同者月小，内无中气者为闰月。其弦望在立成相同日日出分已下者，则退一日命之。

　　推各月入交　置天正经朔入交凡日加二交差，得正月经朔下入交凡日。累加交望，满交终去之，即得各月下入交凡日。径求次月，加交差即得。

　　推土王用事　置谷雨、大暑、霜降、大寒恒气日，减土王策，如不及减，加纪法减之，即各得土王用事日。

　　推发敛加时　各置所推定朔弦望及恒气之小余，以十二乘之，满万为时，命起子正。满五千，又进一时，命起子初。算外得时不满者，以一千二百除之为刻，命起初刻。初正时之刻，皆以初一二三四为好，于算外命之。(其第四刻为畸零，得刻法三之一，凡三时成一刻，以足十二时百刻之数。)

　　按古因及《授时》，皆以发敛为一章。发敛去者，日道发南敛北之细数也，而加时附焉，则又所以纪发敛之辰刻，故曰发敛加时也。《大统》取其便算，故合发敛与气朔共为一章，或以乘除疏发敛，非其质矣。

　　推盈日　视恒气小余，在没限已上，为有盈之气。置策余一万零一四五六二五，以十五日除气策。以有盈之气小余减之，余以六十八分六六以气盈除十五日。乘之，得数以加恒气大余，满纪法去之，命甲子算外，得盈日。求盈日及分秒，以盈策加之，又去纪法，即得。

　　推虚日　视经朔小余在朔虚已下，为有虚之朔。　置有虚之朔小余，以六十三分九一以朔虚除三十日。乘之，得数以加经朔大余，满纪法去之，命甲子算外为虚日。　求次虚。　置日及分秒，以虚策加之，又去纪法，即得。

　　推直宿　置通积，以气应加中积。减闰应，以宿会二十八万累去之，馀命起翼宿算外，得天正经朔直宿。置天正经宿直宿，加两宿策，为正月经朔直宿。以宿策累加，得各月经朔直宿。再以各月朔下加减差加减之，为定朔直宿。

　　▲步日躔

　　周天三百六十五度二十五分七十五秒，半之为半周天，又半之为象限。

　　岁差一分五十秒。

　　周应三百一十五度一十分七十五秒。

　　按此系至元辛巳之周应，乃自虚七度至箕十之度数也。洪武甲子相距一百四年，岁差已退天五十四分五十秒，而周应仍用旧数，殆传习之误耳。

　　推天正冬至日躔赤道宿次　置中积，加周应，应减距历元甲子以来岁差。满周天去之，不尽，起虚七度，依各宿次去之，即冬至加时赤道日度。如求次年，累减岁差，即得。

　　(表格略)

　　推天正冬至日躔黄道宿次　置冬至加时赤道日度，以至后赤道积度减之，余以黄道率乘之。如赤道率而一，得数以加黄道积度，即冬至加时黄道日度。黄赤道积度及度率，俱见《法原》。

　　(表格略)

　　推定象限度　以冬至加时赤道日度，与冬至加时黄道日度相减，为黄赤道差。以本年黄赤道差，与次年黄赤道相减，余以四而一，加入气象限内，为定象限度。

　　推四正定气日　置所推冬至分，即为冬正定气，加盈初缩末限，满纪法去之，余为人正定气。加缩初盈末限，去纪法，余为秋正定气。加缩初盈末限，去纪法，余为次年冬正定气。

　　推四正相距日　以前正定气大余，减次正定气大余，加六十日，得相距日。如次正气不及减者，加六十日减之，再加六十日，为相距日。

　　推四正加时黄道积度　置冬至加时黄道日度，累加定象限，各得四正加时黄道积度。

　　推四正加时减分　置四正定气小余，以其初日行度乘之，如日周而一，为各正加时减分。

　　冬正行一度零五一零八五。　春正距夏正九十三日者，行零度九九九七零三，距九十四日者行一度。夏正行零度九五一五一六。秋正距冬正八十八日者，行一度零零零五零五，距八十九日者行一度。

　　推四正夜半积度　置四正加时黄道积芭，减去其加时减分，即得。

　　推四正夜半黄道宿次　置四正夜半黄道积度，满黄道宿度去之，即得。

　　推四正夜半相距度　置次正夜半黄道积度，以前正夜半黄道积度减之，余为两正相距度，遇不及减者，加周天减之。

　　推四正行度加减日差　双相距度与相距日下行积度相减，余如相距日而一，为日差。从相距度人减去行积度者为加，从积度内减去相距度者为减。

　　秋正距冬至，冬至距春正八十八日，行积度九十度四零零九，八十九日行积度九十一度四零一四。春正距夏至，夏至距秋秋正九十三日，行积度九十度五九九零，九十四日行积十五九八七。

　　推每日夜度　置四正后每日行度，在立成。以日差加减之，为每日行定度。置四正夜半日度，以行定度每日加之，满黄道宿度去之，即每日夜半日度。

　　黄道十二次宿度

　　危十二度六四九一，入娵訾，辰在亥。

　　奎一度七三六二，入降娄，辰在戍。

　　奎度四五六，入大梁，辰在酉。

　　胃三七度七四五六，入大梁，辰在酉。

　　毕六度八八零五，入实沈，辰在申。

　　井八度三四九四，入鹑首，辰在未。

　　柳三度八六八零，入鹑火，辰在午。

　　张十五度二六零六，入鹑尾，辰在巳。

　　轸十度零七九七，入寿星，辰在辰。

　　氐一度一四五二，入大火，辰在卯。

　　尾三度一一五，入析木，辰在寅。

　　斗三度七六八五，入星纪，辰在丑。

　　女二度零六三八，入玄枵，辰在子。

　　推日躔黄道入十二次时刻　置入次宿度，以入次日夜，以入次日夜半日度减之，余以日周乘之，一分作百分。为实。以入次日夜半日度，与明日夜半日度相减，余为法。实如法而一，各数，以发敛加时求之，即入次时刻。

　　▲步月离

　　月平行度一十三度三十六分八十七秒半。

　　周限三百三十六、半之为中限，又半之为初限。

　　限平行度零九分六十二秒。

　　太阳限行八分二十秒。

　　上弦九十一度三十一发四十三秒太。

　　望一百八十二度六十二分八十七秒半。

　　下弦二百七十三度九十四分三十一秒少。

　　交终度三百六十三度七十九分三十四秒一九六。

　　朔平行度三百九十四度七八七一一五一六八七五。

　　推朔后平交日　置交终分，风气朔历。减天正经朔交凡分，为朔后平交日。如推次月，累减交差二日三一八六九，得次月朔平交日。不及减交差者，加交终减之，其交又在本月，为重交月朔后平交日。(每岁必有重交之月。)

　　推平交入转迟疾历　置经朔迟疾历，加入朔后平交日为平交入转。在转中已下，其迟疾与经朔同，已上减去转中疾交迟，迟交疾。如推次月，累减交转差三千四百二十三分七六，(交差内减转差数。)即得。如不及减，加转中减之，亦迟疾相代。

　　推平交入限迟疾差　置平交入转迟疾历，依步气朔内，推迟疾差，那得。

　　推平交加减定差　置平交入限迟疾差，双日率八百二十分乘之，以所入迟疾限下行度而一，即得。在