明史 37

　如用赤道仪观测，所得到的经纬度数，必须全部用黄道赤道通率表换算，不如用黄道仪实时得到七政的本度方便。

　　三是各方七政运行度数，随地方不同。

　　日月在东西方所见到的交食，时间各有先后，已经不用怀疑了。

　　那么太阳运行产生二十四节气，与月亮五星的掩食冲犯，怎能不与交食同一道理呢？所以新历法各数据表，虽然以顺天府为主，而推算各方的运行度数，也都各有自己的方法。

　　四是各曜的加减分，用平、立、定三差法，还不够。

　　加减平行分以求自身的运行度数，是历家的重要事情。

　　只是天实际上是圆体，与平行不同，旧历用的三差法，都是从勾股平行来确定的，和天体不合。

　　就是各盈缩损益数据，也没有得到真实数字。

　　现在新历法加碱各表，却是用圆治理圆，纔可以与天相合。

　　五是随时随地可以求得各曜的经度。

　　旧历法想得到某日某曜的经度，必须先推算各曜冬至日所运行的宫度宿次，然后用各段日度计算纔能得到。

　　现在的方法不限时间方所，只要查阅本表推算就是了。

　　六是径一围三，不是弧矢的真法。

　　古代历家用直钱测圆形，叫做弧矢法，而计算用径一围三，就错了。

　　现在的立割圆八线表，用法简便而用处大。

　　弧矢等线，只乘除一次，就能得到。

　　七是球面三角三弧形，不是勾股可以完全算出来的。

　　古法测天以勾股焉根本，然而勾股只能解决直角，不能解决斜角。

　　而且天是圆球，球面上与各道相切割产生的三弧形，勾股不能够完全解决它。

　　论述恒星有四则：一是恒星本行，即所说的岁差，从黄道极算起。

　　各星离赤极的度分，古今不同。

　　距离赤道内外，也古今不同。

　　而距黄极或距黄道内外，却是从古以来一样，所以知道日月五星都沿着黄道运行。

　　恒星的本行，应该从黄遒极起算，作为岁差的比率。

　　二是古今各宿的度数不同。

　　恒星以黄道极为极，所以各宿距星的运行度数，与赤道极时近时速。

　　运行逐渐接近赤道极，即从赤道发出的遇距星的线逐渐变密，本宿的赤道弧就较小。

　　逐渐远离赤极，经过距星的线就逐渐稀疏，本宿的赤道弧就较大。

　　这是因为黄道赤道黄极赤极不同，不是距星有不同的运行，也不是距星移动了位置。

　　如觜宿距星，漠测距参宿二度，唐测一度，宋崇宁年问测半度，元郭守敬测五分。

　　现在测量，不但没有一分，反而侵入参宿二十四分，不是一个证据吗？三是夜半测星定时。

　　太阳沿赤道左行，每十五度为一小时。

　　现在任意测量一颗星距子午圈前后的度分，又用本星经行和太阳经行相加减，得太阳距子午圈的度分，通过它变为真时刻。

　　四是宋时所定的十二宫次在某宿度，现在不能定在某宿度。

　　这是因为恒星有本行，宿度已经右移的缘故。

　　关于太阳的论述有四条：，一是太阳盈缩的极限，不是冬、夏二至，就是人们所说的最高及最高冲。

　　这个极限年年向右移动，现在已超过了二至后六度多。

　　二是用圭表测量冬夏二至，不是好的办法。

　　在二至前后，太阳南北的运行度数很少，一丈长的圭表，一天的日影的差异不过一分三十秒，则一秒的长度就管六刻多的时间。

　　如果测量误差二三秒，时间就将近二十刻，怎么能准确呢？现在的办法只用春、秋二分，因为这时太阳一天南北运行二十四分，一天的日影差异有一寸二分，即使测量误差一二秒，折算时间也不满一刻，比二至更精密。

　　三是太阳起落的分数，应该从顺天府起算。

　　因各方纬度不同，早晨黄昏的时刻也因此有差异。

　　《大统历》依照应天府推算，所以昼夜长短，日月东西方位和是否带食，推算的都不准确。

　　现在依照顺天府改定。

　　四是平节气不是天时的真节气。

　　旧历法一气的长度，是一年长度的二十四分之一。

　　然而太阳的运行，有快右慢，不能平分。

　　如果平分，那么春分就比天象晚两天，秋分就比天象早两天了。

　　现在全都改正。

　　关于月亮的论述有四条：一是朔望之外，另外还有损益分，一次加碱不足以完全平衡。

　　旧历法确定月亮匀速运行，推算朔望的加减数，大致五度多，然而上弦和下弦时多少不一，即使是《授时历》也说朔望之外，匀速运行的度数不一定，明白了这个道理，但是没有写进历法。

　　现在在加减之外，再使用一次加减，取名叫二三均数。

　　二是黄白二道的相距度不能确定焉五度，而是时多时少。

　　古今历家根据交食的分数及交泛等，测定黄道白道相距大约五度。

　　然而朔望日之外雨道的相距度数，有增有碱，最大距离达到五又三分之一度。

　　如果一个月有两次交食，在上下弦时用仪表求距离黄道的度数焉五度，就不能与天象相合。

　　三是交行有损益分。

　　罗喉、计都即正交、中交的行度，古今都定为匀速运行。

　　现在仔细测量，月亮有时在交点之上，用匀速去推求，必然与计算不合。

　　因此再设置一次加减，成为交行的均数。

　　四是天象没有紫气。

　　旧历法认为是从闰余中产生，又认为是木星的余气。

　　现在仔细考察各星，没有天象可以说明，可知这是毫无根据地增加的。

　　关于交食的论述有四条：一是日月影像的直径大小总是不一样的。

　　因为日月有时运行得最高，有时运行的最低，因为相距有速有近，所见到的就有大有小。

　　又因速的时候和近的时候看到月亮反射的光线，有强有弱，所以月亮影像的直径大小不会一样。

　　二是日食正午不是中限，而应以黄道九十度限为中限。

　　南北东西差都是依据黄道，那么时差又怎能不依据黄道来论定它的初段末段以推求中限呢？况且黄道在地平之上的部分，两个象限自有它的高处，也自有它的中限。

　　这个道理不明白，有时该加的反而减，该碱的反而加，凡是加时不合的都是由此产生的。

　　三是日食的初亏和复圆，时刻多少总是不一样的，不是两段时间各折一半的那种说法。

　　视觉的误差能把实际运行变为枧运行，那么用视差来比较食甚的前后，没有不出差错的。

　　根据视差既然食甚前后木一，又怎么能使枧运行前后相等呢？现在用视运行来推算时刻，初亏和复圆不能相等就明确了。

　　四是各方各自依照当地的经度推算日食的时刻及日食的分数。

　　地面上东方和西方看见日月的出没，各有先后不同，那么得到的时刻也不相同。

　　所以看到交食虽然是一个但时刻不同，这一点日食和月食都是一个道理。

　　如果是日食则因为视差各地不同，月食则因为看的距离不同，所见到的交食分数也就有差异。

　　关于五星的论述有三条：一是五星应根据太阳的视运行，而不能根据段目来确定。

　　因为五星都是以太阳为中心，与太阳合就前行得快。

　　与太阳冲就退行。

　　而且太阳的运行有快慢，这样五星的合伏日数，时多时少，自然不能根据段目来确定它的度分。

　　二是五星应增加纬度运行度数。

　　因五星出入黄道，各有一定的相距度。

　　又木、土、火三星与太阳相冲纬度大，与太阳相合纬度小。

　　金、水二星顺伏纬度小，逆伏纬度大。

　　三是观测五星，应当用恒星作为标准。

　　测量五星除使用黄道仪外，还应使用弧矢等仪器。

　　根据测到的某星距离两颗恒星的多少度分，依据有关方法计算，纔能得到这颗星的真经纬度分。

　　有时绘图也可以免于计算。

　　这时新历法书籍仪器都已完备，多次预测日月交食五星冲犯都密切相合，但魏文魁等想方设法阻挠，实际上是宦官在指使。

　　因此皇帝不能决断，下谕叫李天经和钦天监历局虚心地详加研究，一定要求得到统一。

　　这年，李天经推算水星隐现及木星所在的度数，都与《大统历》各不相同，而新历法与天象相合。

　　又推算八月二十七日寅时后段二刻，木星、火星、月亮三曜同在张宿六度，而《大统历》推算木星在张宿四度，火星、月亮在张宿三度。

　　到时，果然同在张宿六度。

　　九年正月十五日辛酉，望日早上月食。

　　李天经及《大统历》、《回回历》、束局，各自预先推算初亏复圆食甚的时刻和食分。

　　李天经怕到时被云掩盖难以见到，就根据地面距离的差距，推算河南、山西所见到的时刻，上奏派官员分别测量验证。

　　到了那一天，李天经与罗雅谷、汤若塱、大理评事王应遴、礼官李焰及钦天监、历局守登、魏文魁等到观象台观测骏证，只有李天经所推算的与天象相合。

　　不久，河南的报告也完全与原来的推算相合，山玺因月食时被云掩盖无从验证。

　　皇帝认为测算月食，新历法最接近天象，只是十五日雨水，而李天经定十三日为雨水，命令他再上奏说明。

　　李天经答复说：讨论节气有两种办法：一是平节气，一是定节气。

　　平节气，将一年的长度，平分为二十四份，每份得十五日多，就是一个节气。

　　所以从前一年的冬至开始算起，宁定要遇六十日八十七刻多纔是雨水。

　　旧历法推算的十五日子时后段二刻就是这样。

　　定节气，以三百六十为周天的度数，也平分为二十四份，每份得十五度为一个节气。

　　从前一年的冬至开始算起，经过五十九日二刻多，而太阳运行满六十度就是雨水。

　　新历法所推算的十三日卯时前段二刻八分就是这样。

　　太阳的运行有快有慢，不设法加减，一定与天象不合，怎么能平分一年长度作为节气呢？用春分来验证，道理更加明白。

　　分，是黄道和赤道的交点，太阳运行到这里，就昼夜平分。

　　旧历法在二月十四日之下，注明白画五十刻、夜晚五十刻就是这样。

　　十四日昼夜已经平分，那么新历法推算十四日为春分符合天象，而旧历法推定为十六日，已落后天象二日了。

　　知道了春分，那秋分和各节气就可知了，而对于雨水就没有疑问了。

　　后来李天经在春分将到时，每天中午到观象台测量正午时太阳的高度。

　　二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十三分。

　　李天经于是说：京城的北极出地高度是三十九度五十五分，那么赤道的出地高度应是五十度五分，春分日太阳正在赤道上，太阳正午的高度与赤道的高度相等，过了这一位置太阳的高度必然逐渐增高。

　　现在将十四日所测到的太阳高度，加上地半径差二分，比赤道高度已多五分。

　　逭大概是因为原来推算的春分在卯时后段二刻五分弱，这时每天纬行度二十四分弱，时差二十一刻五分，那么纬行度应加五分强。

　　到十五日，加上地半径差比乔道高度已多达三十分，何况十六日呢？所以春分应当在十四日，而不应当在十六日。

　　秋分也是这样。

　　又上呈《节气图》，说：内规分三百六十五又四分之一度，是太阳运行的度数。

　　外规分三百六十度，是周天的度数。

　　从冬至算起，经过九十一日三十一刻六分，纔到达春分，这是受太阳运行度数的限制，而在周天的度数，已超过二度多了。

　　又经过二百七十三日九十三刻一十九分，而和秋分点相交，也是受太阳运行度数的限制，而在周天度数还差二度多。

　　难道不是旧历法春分每次比天象落后两天，秋分比天象提前两天的原因吗？十年正月辛丑朔日，发生日食，李天经等预测京城见食一分十秒，应天及各省分秒各不相同，只有云南、太原看不到日食。

　　日食的初亏、食甚、复圆时刻也各不相同。

　　《大统历》推算食分一分六十三秒，《回回历》推算食分三分七十秒，柬局推算只有游动的云气侵扰日光三十多秒。

　　而到发生日食时检验，只有李天经的推算最精确。

　　当时将要废除《大统历》，使用新历法，这时管理其它历局事务的代州知州郭正中进言说：“中国历法一定不要完全废弃，西洋历法一定不要独家实行。

　　四种历法各有长短，应当综合各家，兼用西法。”十一年正月，皇帝就下诏仍然使用《大统历》，至于交食的经纬度，晦朔弦望，因历法年代长了有差错的，另外考求和参考新历法与《回回历》，几种说法并存。

　　这一年，进升李天经焉光禄寺卿，仍然管理层法事务。

　　十四年十二月，李天经进言说：“《大统历》设置闰月，只要求月中没有中气，新历法尤其重视合朔的先后。

　　现在所进献的十五年新历，其中十月、十二月的中气，正好在次月合朔时刻之前，所以月内虽然没有中气，而实际上并不是闰月。

　　大致气在朔日之前，则此气还属于上一月的晦日。

　　到十六年第二个月只有惊螯一个节气，而中气春分，在第三个月合朔之后纔到来，那么第二个月是闰正月，第三个月是二月，是没有疑问的。”当时皇帝已深知西洋历法的精密。

　　到十六年三月乙丑朔日日食，又惟独用西洋历法预测应验天象。

　　八月，皇帝下诏说西洋历法确实精密，马上改名焉《大统历法》，通行天下。

　　不久国家发生变故，最终没有施行。

　　本朝用的是《时宪历》。

　　按照明朝的制度，历官都是世代相传作为职业，成化、弘治年间还能够提出修改的建议，万历以后就都是专用己说、抱残守缺而已。

　　那些不是历官而懂历法的，除郑世子之外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗都有著述。

　　唐顺之的著述没有成书，他的论述散见于周述里的《历宗通议》、《历宗中经》。

　　袁黄着有《历法新书》，其中天地人三元，则是来源于陈壤，而雷宗也着有《合璧连珠历法》。

　　这些人都是融会《回回历》以纳入《授时历》，虽然不能像郑世子那样精深细致，他们对于中公历法的原理，都有所创新阐发。

　　邢云路《古今律历考》，有人说本出自魏文魁之手。

　　魏文魁学识本来肤浅，难怪他所注释的《授时历》，都不合原书的旨意。

　　西洋人来到中国的，都自称瓯罗巴人，他们的历法和《回回历》相同，而更加精密。

　　曾经考察前代，远方国家谈历法的人多在西域，而东方、南方、北方没有听说遇。

　　唐代的《九执历》、丞盐的《万年历》，以及湛亟年间所译的《回回历》，都是西域的历法。

　　大概尧命令羲仲、羲叔、和仲、和叔分居四方，羲仲、羲叔、和叔就以蝎夷、南交、朔方为界限，惟独和仲祇说了“住在西方”，而没有限制地点，难道不是当时的声威教化向西影响得很远吗。

　　到了周代末期，历官子弟四处分散。

　　西域、天方各国，和中原西部接壤，又不像东南有大海阻隔，又没有北方严寒的威胁，他们抱着书籍仪器而西去，从情势上讲确实是很方便的。

　　瓯罗巴在回回的西面，他们的风俗和回回相似，而喜好新奇、争强好胜的习俗超过了回回。

　　所以他们的历法与回回同源，而代代增修，于是不是回回所能赶得上的了，这也是争强好胜的习俗造成的。

　　羲、相失去他们的职守以后，现在还能见到的古籍，只有《周髀》。

　　而西方人天文仪器，寒热五带的学说，地为圆球的道理，几何学的方法，都没有超出《周髀》的范围，由此也可以知道西洋历法的由来了。

　　四处搜索广博采纳，用以继续千百年来已失落的头绪，也是礼仪失落后到僻野之地求索的意思，所以详细地论述。

 

 

《志·卷八》

 

　　◎历二

　　▲大统历法一上(法原)

　　造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。

　　▲句股测望

　　北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。

　　北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。

　　以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。

　　▲弧矢割圆

　　周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。(又为黄赤道大弦。)二至黄赤道内外半弧背二十四度。(所测就整。)二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半径内减去矢度之数。)

　　割圆求矢术　置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。(黄赤道同用。)

　　如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒叶不用，下同。)

　　凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。(数详后。)

　　▲黄赤道差

　　求黄赤道各度下赤道积度术。　置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之(大股见割圆)为实。黄赤道大弦(半径)为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，(即黄道半弧背。)余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径(亦为赤道大弦)乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，(亦为赤道横小句)以赤道大弦(即半径)乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。

　　如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，(即黄赤道大弦。)内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。(又为赤道小句。)置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径(即赤道大弦)乘之，得六十零度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，(又为赤道小句。)以赤道大弦(半径)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。

　　凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。

　　▲黄赤道相求弧矢诸率立成上

　　(表格略)

　　▲黄赤道相求弧矢诸率立成下

　　(表格略)

　　按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合於浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。

　　▲割圆弧矢图

　　凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。

　　平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。

　　外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。

　　按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。

　　▲黄赤道内外度

　　推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。(又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。)置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，(即半径。)除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。)置黄赤道小弧矢自之，(即赤道二弦差。)以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。

　　如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。(即内外矢。)置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。(即内外半弧弦。)置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。

　　▲黄道每度去赤道内外及去北极立成

　　(表格略)

　　▲白道交周

　　推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。　依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。

 

50. 译文

 

　　制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。

　　如《太初历》起源于音律，《大衍历》发端于蓍卜，都详细见于本历志。

　　《授时历》以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵强附会音律、卦爻。

　　然而它立法的依据．数据的出处，以及日晷影长、行星度数，都有完整的书籍。

　　郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。

　　《元史》全没有采录，现仅存奎盏的《议录》、《历经》的初稿。

　　后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。

　　使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。

　　现在根据《大统历通轨》及《历草》等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。

　　而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，黄赤道差，黄赤道内外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。

　　在北京立四丈高的标尺，冬至日正午，测得影长七丈九尺八寸五分。

　　随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。

　　求得矢度为五度九十一分半。

　　将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太阳的度数。

　　用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太阳出地的半弧弦。

　　在北京立四丈高的标尺，夏至日正午，测得影长一丈一尺七寸一分。

　　随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。

　　求得矢度为四十三度七十四分又四分之一。

　　将周天半径，减去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地离头顶上太阳的度数。

　　用以勾弦求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，就是太阳出地的半弧弦。

　　将冬至夏至太阳南至地平的度数相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京的赤道出地度数。

　　以赤道出地度转减周天的四分之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，就是北京的纬度。

　　周天圆的直径为一百二十一度七十五分又四分之一。

　　四分之一不用。

　　半径为六十度八十七分半。

　　又是黄道赤道的大弦。

　　冬至夏至黄道赤道内外半弧背为二十四度。

　　所测敷取整数。

　　冬至夏至黄道赤道弧矢为四度八十四分八十二秒。

　　黄道赤道大勾为二十三度八十分七十秒。

　　黄道床道大股为五十六度零二分六十八秒。

　　半径内减去矢度。

　　割圆求矢的方法。

　　将半弧背的度数自乘，就是半弧背的幂。

　　将周天圆的直径自乘，就是上廉。

　　上廉乘半弧背的幂，就是正实。

　　上廉乘以天圆直径，就是益从方。

　　半弧背乘以二，乘以天圆直径，就是下廉。

　　用初商乘上廉，再用益从方减去这个得数，余数就是从方。

　　将初商自乘并用下廉减自乘的得数，余数乘以初商，就是从廉。

　　从方和从廉相加，就是下法。

　　下法乘以初商，再用正寅减去此数，如正赏不够减，就改用初商。

　　正实还有余数，依次用商除下去。

　　将初商乘以二，与次商相加并乘以上廉，再用益从方减去乘积，余数为从方。

　　将初商和次商相加并自乘，又将初商自乘，然后两数相加，再用下廉城此数，余数用初商的二倍加次商舆之相乘，就是从廉。

　　从方和从廉相加，就是下法。

　　下法乘以次商，再用余实碱此数，从而确定次商。

　　如还有余数，用同样的方法计算，商的得敷就是矢的度数。

　　黄道赤道同用这一度数。

　　例如以半弧背一度来求矢的度数。

　　方法是：将半弧背一度自乘，得敷为一度，是半弧背的幂。

　　将天圆直径一百二十一度又四分之三自乘，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。

　　上廉乘以半弧背的幂，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正实。

　　上廉又乘天圆直径，得一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益从方。

　　半弧背一度加倍，得二度，乘以天圆直径得二百四十三度五十分，就是下廉。

　　初商八十秒。

　　将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五减此数，余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是从方。

　　又将初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉减此敷，余二百四十三度四九九九三六。

　　仍然用八十秒乘此余数，得一度九四七九九九四八八，就是从廉。

　　将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。

　　下法乘以初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正实藏去此数，得余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。

　　次商二秒。

　　将初商八十秒加倍，得一分六十秒。

　　加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益从方减此数，余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，就是从方。

　　又将初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。

　　加上初商八十秒自乘之数，得一秒三十一微，用下廉减此敷，余二百四十三度四九九八六九。

　　乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是从廉。

　　将从廉和从方相加，得一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。

　　将下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余实减此敷，还余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。

　　不足一秒舍弃不用，以下同。

　　求得矢的度数共八十二秒，剩余部分继续用上列方法计算。

　　求得矢的度数，作为黄道赤道相求及求二者内外度的根。

　　数据详见后文。

　　求黄道各度之下赤道度数的方法。

　　将天圆的半径减去黄道矢的度数，余数焉黄道赤道的小弦。

　　将黄道赤道的小弦，乘以黄道赤道的大股大股见弧矢割圆作为被除数。

　　黄道赤道的大弦天圆半径作为除数。

　　两数相除，就是黄道赤道的小股。

　　将黄道的矢自乘作为被除数，以天圆的直径作为除数，两数相除，就是黄道半背弦差。

　　用黄道积度即黄道半弧背减这个差，余数就是黄道半弧弦。

　　将黄道半弧弦自乘作为股的幂，黄道赤道小股自乘作为勾的幂，两个幂相加，开平方，就是赤道小弦。

　　将黄道的半弧弦，乘以天圆的半径也是赤道大弦作为被除数，以赤遒小弦作为除数与之相除，就是赤道的半弧弦。

　　将黄道赤道的小股，也是赤道的横小勾。

　　用赤道大弦即半径相乘作为被除数，以赤道小弦作为除数与之相除，就是赤道横大勾，再用半径减赤道横大勾，余数就是赤道横弧矢。

　　将横弧矢自乘作为被除数，以直径作为除数与之相除，就是赤道的半背弦差。

　　以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度数。

　　如黄道半弧背为一度，求赤道的度数。

　　方法是：将半径六十度八十七分五十秒，即黄道赤道大弦。

　　黄道的矢八十二秒，余六十度八六六八，就是黄道赤道小弦。

　　将黄道赤道小弦，乘以黄道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以黄道赤道大弦六十度八七五作为除数，两敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黄道赤道的小股。

　　又是赤道小勾。

　　将矢的度数八十二秒自乘，得六十七微，以天圆直径一百二十一度七五作为除数，舆之相除得五十五纤，就是黄道半背弦差。

　　将黄道半弧背一度，减黄道半背弦差，余数就是半弧弦。

　　因半背弦差在一微以下，所以不减，就用一度作为半弧弦。

　　将黄道半弧弦一度自乘，得一度作为股的幂。

　　黄道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾的幂。

　　两个幂相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦实，开平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。

　　将赤道半弧弦一度，乘以天圆半径，即赤道大弦。

　　得六十度八七五作为被除数，以赤道小弦五十六度零二八一作为除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。

　　将黄道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。

　　乘以赤道大弦天圆半径六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作为被除数，以赤道小弦作为除数