《九章算术》2

〔其率知，欲令无分。按：出钱五百七十六，买竹七十八个，以除钱，得七， 实余三十，是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数，故曰实贵也。

　　本以七十八个为法，今以贵者减之，则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、 钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢者，谓石、钧、斤、两 积铢除实，又以石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。〕 今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢 率之，问各几何？答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱；其一石一钧七斤 一十二两一十八铢，六铢一钱。

　　今有出钱六百二十，买羽二千一百翭。

　　〔翭，羽本也。数羽称其本，犹数草木称其根株。〕 欲其贵贱率之，问各几何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱； 其九百六十翭，四翭钱。

　　今有出钱九百八十，买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？答 曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。

　　反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者，反以实减 法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数。

　　〔按：其率：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱， 一钱翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘 钱，反其率也。

　　淳风等按：其率者，钱多物少；反其率知，钱少物多；多少相反，故曰反其 率也。其率者，以物数为法，钱数为实。反之知，以钱数为法，物数为实。不满 法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。

　　法少知，经分之所得，故曰法少；实多者，余分之所益，故曰实多。乘实宜以多， 乘法宜以少，故曰各以其所得多少之数乘法、实，即物数。〕

 

 

《卷三》

 

　　○衰分（以御贵贱禀税） 衰分 〔衰分，差也。〕 术曰：各置列衰； 〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕 副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。

　　〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适 足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所 有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并 六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。

　　今此术先乘而后除也。〕 不满法者，以法命之。

　　今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之， 问各得几何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪袅得一 鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。

　　术曰：列置爵数，各自为衰。

　　〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一也。《墨子·号令 篇》以爵级为赐，然则战国之初有此名也。〕 副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。

　　〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之， 即得。〕 今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主 曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升 之四；马主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。

　　术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自 为实。实如法得一斗。

　　〔淳风等按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一 马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕 今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关， 关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之 四十一；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。

　　术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得 一钱。

　　〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为 所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕 今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？答曰：初日织一寸三十 一分寸之十九；次日织三寸三十一分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次 日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

　　术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自 为实。实如法得一尺。

　　今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十 六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？答曰：北乡遣 一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡遣一百一十 二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡遣一百二十九人一万二千一百七十 五分人之八千七百九。

　　术曰：各置算数为列衰， 〔淳风等按：三乡算数，约，可半者，为列衰。〕 副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人。

　　〔按：此术，今有之义也。〕 今有禀粟，大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫 一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？答曰：大夫出一斗四 分斗之一；不更出一斗；簪袅出四分斗之三；上造出四分斗之二；公士出四分斗 之一。

　　术曰：各置所禀粟斛，斗数、爵次均之，以为列衰。副并而加后来大夫亦五 斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗。

　　〔禀前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗， 公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来 大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗， 凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有 率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。〕 今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？答曰：三 人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。

　　术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各 自为实。实如法得一斛。

　　反衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。

　　今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以 次渐多，问各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱 一百三十七分钱之一百三十；簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出 二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百 九。

　　术曰：置爵数，各自为衰，而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自为 实。实如法得一钱。

　　〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，当使大夫一人受五分， 不更一人受四分。人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以 五、四为列焉。今此令高爵出少，则当大夫五人共出一人分，不更四人共出一人 分，故谓之反衰。人数不同，则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子，则动者为 不动者衰也。亦可先同其母，各以分母约，其子为反衰。副并为法。以所分乘未 并者，各自为实。实如法而一。〕 今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？ 答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。

　　术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰，而反衰之。副并为法。

　　以九升乘未并者，各自为实。实如法得一升。

　　〔按：此术，三人所持升数虽等，论其本率，精粗不同。米率虽少，令最得 多；饭率虽多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。于今有术，副并为所 有率，未并者各为所求率，九升为所有数，而今有之，即得。〕 今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？答曰： 五斤八两一十二铢五分铢之四。

　　术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。

　　〔按：此术今有之义，以一斤价为所有率，一斤为所求率，今有钱为所有数， 而今有之，即得。〕 今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？答曰： 一百六十一钱三十二分钱之二十三。

　　术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率，价钱为所求率，今 有丝为所有数，而今有之，即得。〕 今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？答曰： 六百三十三钱五分钱之三。

　　术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率，价钱为所求率，今 有缣寸数为所有数，而今有之，即得。〕 今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问得钱几何？答曰：八十 四钱八分钱之三。

　　术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率，价钱为所求率，今有 布为所有数，今有之，即得。〕 今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？答曰：得素 一匹。

　　术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以价钱为所有率，五丈尺数为所求率，今有 钱为所有数，今有之，即得。〕 今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？ 答曰：三十二斤八两。

　　术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率，一十斤为所求率， 今有丝为所有数，而今有之，即得。〕 今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？答曰：一百六十三 两四铢半。

　　术曰：以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率，七两为所求率， 今有丝为所有数，而今有之，即得。〕 今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？ 答曰：一十三斤一十一两十铢七分铢之二。

　　术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。

　　〔馀四百二十两，即干丝率。〕 三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

　　〔凡所得率，如细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。故品物不同，如上缣、 丝之比，相与率焉。三十斤凡四百八十两，今生丝率四百八十两，今干丝率四百 二十两，则其数相通。可俱为铢，可俱为两，可俱为斤，，无所归滞也。若然， 宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者，使干丝以两数 为率，生丝以斤数为率，譬之异类，亦各有一定之势。

　　淳风等按：此术，置生丝两数，除耗数，余即干丝之率，于今有术为所有率； 三十斤为所求率，干丝两数为所有数。凡所为率者，细则俱细，粗则俱粗。今有 一斤乘两知，干丝即以两数为率，生丝即以斤数为率，譬之异物，各有一定之率 也。〕 今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟 几何？答曰：八斛四斗四升一十二分升之五。

　　术曰：以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟 数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一亩步数为所有率，六升太半升为所求率， 今有田积步为所有数，而今有之，即得。〕 今有取保，一岁价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？答曰：一 百六十九日二十五分日之二十三。

　　术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。

　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以价为所有率，一岁日数为所求率，取钱为 所有数，而今有之，即得。〕 今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？答 曰：六钱四分钱之三。

　　术曰：以月三十日乘千钱为法。

　　〔以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。〕 以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。

　　〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱，于今有术为所有数，息三十为所求率； 三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所 有钱为实；千钱为法。为率者，当等之于一也。故三十日或可乘本，或可约息， 皆所以等之也。〕

 

 

《卷四》

 

　　○少广（以御积幂方圆） 少广 〔淳风等按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其 广，故曰少广。〕 术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步， 〔淳风等按：以分母乘全步者，通其分也；以母乘子者，齐其子也。〕 各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆 通而同之。并之为法。

　　〔淳风等按：诸子悉通，故可并之为法。亦宜用合分术，列数尤多，若用乘 则算数至繁，故别制此术，从省约。〕 置所求步数，以全步积分乘之为实。

　　〔此以田广为法，以亩积步为实。法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法 实，而并齐于法。今以分母乘全步及子，子如母而一，并以并全法，则法实俱长， 意亦等也。故如法而一，得从步数。〕 实如法而一，得从步。

　　今有田广一步半。求田一亩，问从几何？答曰：一百六十步。

　　术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之，得三，为法。置田 二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：一百三十步一 十一分步之一十。

　　术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之，得一十一，为 法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？答曰： 一百一十五步五分步之一。

　　术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三， 并之，得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如 法而一，得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从 几何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。

　　术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一 十五，五分之一为一十二，并之，得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦 以一为六十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求 田一亩，问从几何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。

　　术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一 为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之，得二百九十四，以为法。

　　置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

　　术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十， 四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并 之，得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。

　　实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：八十八步七百六十一分步 之二百三十二。

　　术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十， 四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一 为一百二十，八分之一为一百五，并之，得二千二百八十三，以为法。置田二百 四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：八十四步七 千一百二十九分步之五千九百六十四。

　　术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八 百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分 之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之，得七千 一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实 如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何？答曰： 八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

　　术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为 八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七 分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为 二百五十二，并之，得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二 千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩， 问从几何？答曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

　　术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十， 三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十 四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百 六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为 二千五百二十，并之，得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以 一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

　　今有田广一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之 一。求田一亩，问从几何？答曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百 八十三。

　　术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十， 三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千 六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八 分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一 十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之，得二十 五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之， 为实。实如法得从步。

　　〔淳风等按：凡为术之意，约省为善。宜云“下有一十二分，以一为二万七 千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六 千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一 为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一 为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，十二分之一为二千三百一十， 并之，得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二 十乘之，以为实。实如法得从步。”其术亦得知，不繁也。〕 今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。

　　又有积二万五千二百八十一步，问为方几何？答曰：一百五十九步。

　　又有积七万一千八百二十四步，问为方几何？答曰：二百六十八步。

　　又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一，问为方几何？答曰：七百五 十一步半。

　　又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步，问为方几何？答曰：六万 三千二十五步。

　　○开方 〔求方幂之一面也。〕 术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。

　　〔言百之面十也。言万之面百也。〕 议所得，以一乘所借一算为法，而以除。

　　〔先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除也。〕 除已，倍法为定法。

　　〔倍之者，豫张两面朱幂定袤，以待复除，故曰定法。〕 其复除，折法而下。

　　〔欲除朱幂者，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。

　　如是当复步之而止，乃得相命。故使就上折下。〕 复置借算，步之如初。以复议一乘之， 〔欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也。〕 所得副以加定法，以除。以所得副从定法。

　　〔再以黄乙之面加定法者，是则张两青幂之袤。〕 复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。

　　〔术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之 自乘当还复有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。

　　其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一， 而复其数可以举。不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子， 其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数， 不足言之也。〕 若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。

　　〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开 分母，求一母为法，以报除也。〕 若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

　　〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后， 亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。

　　又按：此术“开方”者，求方幂之面也。借一算者，假借一算，空有列位之 名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之超一等”者，方十自 乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位，至百而言十，至万而言百。“议 所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘，故 开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积 未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而 下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除， 如是，当复步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算，步之如初， 以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以 所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即 合所问。〕 今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何？答曰：一百三十五步。

　　〔于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。

　　淳风等按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。〕 又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。

　　〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。

　　淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕 开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

　　〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积， 如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周， 犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微 多。

　　淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今 本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径 二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二 也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以 十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡 物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕 今有积一百八十六万八百六十七尺， 〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕 问为立方几何？答曰：一百二十三尺。

　　又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。

　　又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答 曰：三十九尺八分尺之七。

　　又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？ 答曰：一百二十四尺太半尺。

　　开立方 〔立方适等，求其一面也。〕 术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

　　〔言千之面十，言百万之面百。〕 议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

　　〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕 除已，三之为定法。

　　〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕 复除，折而下。

　　〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者， 方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百， 折下一等也。〕 以三乘所得数，置中行。

　　〔设三廉之定长。〕 复借一算，置下行。

　　〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕 步之，中超一，下超二等。

　　〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长， 故又降一等也。〕 复置议，以一乘中， 〔为三廉备幂也。〕 再乘下， 〔令隅自乘，为方幂也。〕 皆副以加定法。以定法除。

　　〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕 除已，倍下，并中，从定法。

　　〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅 连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕 复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

　　〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕 若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。

　　〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分 母，求一母，为法，以报除也。〕 若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

　　〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之 后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。

　　按：“开立方”知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等” 者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。

　　“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方 等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定 法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据 开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者， 当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借 一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之， 中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法 无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当 令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂， 以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以 两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如 前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开 者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法， 以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分 母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如 母而一，得全面也。〕 今有积四千五百尺。

　　〔亦谓立方之尺也。〕 问为立圆径几何？答曰：二十尺。

　　〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕 又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几 何？答曰：一万四千三百尺。

　　〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕 开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立 圆径。

　　〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆 囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。

　　置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积， 九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何 以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸， 高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似陽马，圆然也。按：合 盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？ 以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以 九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐， 而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正 理。敢不阙疑，以俟能言者。

　　黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官· 考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之 然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开 方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。

　　倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句， 并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之 长邪，邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘 其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命 得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘 之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十 五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二 十五尺之面也。

　　张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面， 开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽 令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之 率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑， 谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆 囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然欲协其陰陽奇偶之说而不顾疏密 矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得 积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全内子，得一百一十七。又置内 质积五，以分母乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤 多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二 尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方 周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率 五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四 尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故 更著此法，然增周太多，过其实矣。

　　淳风等按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新 法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取 立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉；又合而衡规之，去其前 上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

　　规更合四棋，复横断之。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数， 其弦也。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂， 余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋 之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类， 借况以析微。按：陽马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂 数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁 蹙为一，即一陽马也。三分立方，则陽马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一 大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较 然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。

　　故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于后，刘徽 循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘， 十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。

　　凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。〕

 

 

《卷五》

 

　　○商功（以御功程积实） 今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一 万二千五百尺。

　　术曰：穿地四为壤五， 〔壤谓息土。〕 为坚三， 〔坚谓筑土。〕 为墟四。

　　〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕 以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。

　　〔今有术也。〕 以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之； 皆三而一。

　　〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、 壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕 城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

　　术曰：并上下广而半之， 〔损广补狭。〕 以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

　　〔按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘 之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。〕 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地 下广几何？答曰：三尺五分尺之三。

　　术曰：置垣积尺，四之为实。

　　〔穿地四，为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。〕 以深、袤相乘， 〔为深、袤之立实也。〕 又三之，为法。

　　〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕 所得，倍之。

　　〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知， 两广全也。〕 减上广，余即下广。

　　〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。

　　深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率 并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广， 故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕 今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答 曰：一百八十九万七千五百尺： 今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？ 答曰：六千七百七十四尺。

　　今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰： 七千一百一十二尺。

　　冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。

　　术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

　　今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四 千三百七十五尺。

　　春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。

　　问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。

　　术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。

　　〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕 以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。

　　〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出 土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实 里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。

　　不尽者，等数约之而命分也。〕 今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。

　　问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。

　　〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文 欲从易，非其常定也。〕 夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二 百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人 之四百九。

　　术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。

　　以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

　　〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又 去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。

　　以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。

　　不尽者，等数约之而命分也。〕 今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二 十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。

　　秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十 四尺四寸。

　　一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

　　术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。

　　〔以一千人一日功为实。立实为功。〕 并渠上下广而半之，以深乘之，为法。

　　〔以渠广深之立实为法。〕 实如法得袤尺。

　　今有方堡壔， 〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕 方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。

　　术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

　　今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二 尺。

　　〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。

　　淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

　　〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又 以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而 以高乘幂也。

　　淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六 百六十六尺太半尺。

　　术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

　　〔此章有堑堵、陽马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。

　　假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四， 四角陽马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四 面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵 各二、四角陽马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡 三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵陽马各十二， 凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以 高乘之，三而一，即四陽马也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵 也。并之，以为方亭积数也。〕 今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？答曰：五百二十七尺 九分尺之七。

　　〔于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。

　　淳风等按：依密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。〕 术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

　　〔此术周三径一之义。合以三除上下周，各为上下径。以相乘，又各自乘， 并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周俱不尽，还通之，即各为 上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母 三相乘得九，为法，除之。又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积，亦犹方 幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以 三而一；今求圆亭之