《九章算术》

50. 概述

 

九章算术是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

 

 

《序》

 

　　昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六 爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后 两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有 九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北 平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故 校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习 《九章》，长再详览。观陰陽之 割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作 注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以 辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者 以宾兴贤能，教习 国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传， 亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未 必能综于此耳。《周官·大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓 之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：《九章》立四表 望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以 博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝 深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛陽 之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间 为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法 而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即 日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句 率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山 之高与江 海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以 阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者 重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡 伏，靡所不入，博物君子，详而览焉。

 

 

《卷一》

 

　　○方田（以御田畴界域） 今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。

　　又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。

　　方田术曰：广从步数相乘得积步。

　　〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

　　淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义 同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名 责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者 举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之 本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存 善去非，略为料简，遗诸后学。〕 以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

　　〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一 亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而 截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方， 凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。

　　二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕 今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

　　又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

　　里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

　　〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即 得亩数也。〕 今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

　　又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。

　　○约分 〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。

　　设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则 异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕 术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损， 求其等也。以等数约之。

　　〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕 今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。

　　又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三 分之五十。

　　又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得 二、六十分之四十三。

　　○合分 〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细 既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕 术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。

　　〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊， 然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐， 势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通 体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错 综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同 以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕 实如法而一。不满法者，以法命之。

　　〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得 知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕 其母同者，直相从之。

　　今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。

　　又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。

　　○减分 〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰 减分。〕 术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

　　〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者， 同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕 今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六 多，多二百分之三。

　　又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三 分之二。

　　又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八 多，多一千五十分之四十三。

　　○课分 〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕 术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。

　　〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意 与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕 今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减 四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。

　　又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减 三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

　　○平分 〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平 分也。〕 术曰：母互乘子， 〔齐其子也。〕 副并为平实。

　　〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知， 限为平。〕 母相乘为法。

　　〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕 以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

　　〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。

　　淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三 重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕 以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

　　今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之 四。

　　又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰： 人得二钱八分钱之一。

　　○经分 〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以 人数分所分，故曰经分也。〕 术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。

　　〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。

　　乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知， 自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令 两分母相乘法实也。〕 重有分者同而通之。

　　〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内 子，又令分母互乘上下。〕 今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十 二。

　　又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。

　　又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。

　　○乘分 〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕 术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

　　〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃 为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各 当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十 匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤 之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五 匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十 二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者， 犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求 齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之 三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交 互相生。所从言之异，而计数则 三术同归也。〕 今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。

　　又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百 二十步九分步之五。

　　又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰： 一亩二百步十一分步之七。

　　○大广田 〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步； 此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕 术曰：分母各乘其全，分子从之， 〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕 相乘为实。分母相乘为法。

　　〔犹乘分也。〕 实如法而一。

　　〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘 为法而连除之。〕 今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。

　　又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十 三步六分步之五。

　　术曰：半广以乘正从。

　　〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中 平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕 今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 答曰：九亩一百四十四步。

　　又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？ 答曰：二十三亩七十步。

　　术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。

　　〔并而半之者，以盈补虚也。〕 今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩 一百三十五步。

　　又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几 何？答曰：四十六亩二百三十二步半。

　　术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。

　　〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕 今有圆田，周三十步，径十步。

　　〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径 九步十一分步之六。〕 问为田几何？答曰：七十五步。

　　〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。

　　淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕 又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。

　　〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率， 径五十七步二十二分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。

　　〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。

　　淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕 术曰：半周半径相乘得积步。

　　〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容 六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。

　　又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之， 次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥 少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。

　　以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径， 则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。

　　此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推 圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习 其谬失。

　　不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可 知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故 置诸检括，谨详其记注焉。

　　割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令 半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸， 开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分 母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之 求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。

　　开方除之，即十二觚之一面也。

　　割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上 小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之， 即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分 弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。

　　割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上 小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即 句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。

　　开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一 尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除 之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。

　　割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次 上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句 幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。

　　以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。

　　为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除 之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺 乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之， 得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六 觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十， 即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂， 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十 二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之， 得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五 十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。

　　案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其 中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五 十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律 嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六 百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微 少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此 分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸 之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得 五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方 幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺 二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五 十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之， 上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分， 数亦宜然，重其验耳。

　　淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。

　　用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面， 自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓， 今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使 锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之 径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆 一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。

　　径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张 其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以 其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于 徽术之下，冀学者知所裁焉。〕 又术曰：周、径相乘，四而一。

　　〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘 为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十 七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径 以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之 于微多。

　　淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一， 即周。依术求之，即得。〕 又术曰：径自相乘，三之，四而一。

　　〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。

　　是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一 百五十七乘之，二百而一。

　　淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕 又术曰：周自相乘，十二而一。

　　〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者 九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自 乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若 欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自 乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三 百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千 三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。

　　淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何 者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、 六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。

　　又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步 四分步之一。

　　术曰：以径乘周，四而一。

　　〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股， 下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺， 即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与 圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。

　　故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥 同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂， 犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备，可以验此。〕 今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。

　　又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答 曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

　　术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

　　〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半， 则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法 当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚 之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。

　　宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧 可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。

　　以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割 之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲 有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕 今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。

　　〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之， 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

　　淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何？答曰：二亩五十五步。

　　〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

　　淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。

　　〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕 又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十 二步三分步之二。

　　〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于 多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。

　　淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。

　　〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。

　　淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中 周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。

　　〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱 有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之 知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合 分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数 除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕

 

 

《卷二》

 

　　○粟米（以御交 质变易） 粟米之法 〔凡此诸率相与大通，其时相求，各如本率。可约者约之。别术然也。〕 粟率五十大抃五十四稻六十 粝米三十粝饭七十五豉六十三 粺米二十七粺饭五十四飧九十 米二十四饭四十八熟菽一百三半 御米二十一御饭四十二糵一百七十五 小<麦啇>十三半菽荅麻麦各四十五 今有 〔此都术也。凡九数以为篇名，可以广施诸率。所谓告往而知来，举一隅而 三隅反者也。诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏 颇，齐其参差，则终无不归于此术也。〕 术曰：以所有数乘所求率为实。以所有率为法。

　　〔少者多之始，一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是 粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一。一者，谓以五约 之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一，以五为 三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之。又完言之知，粟五升为粝米三升；以 分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三，以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子 乘，其母报除也。然则所求之率常为母也。

　　淳风等按：“宜云所求之率常为子，所有之率常为母。”今乃云“所求之率 常为母”知，脱错也。〕 实如法而一。

　　今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。

　　术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

　　〔淳风等按：都术：以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故 粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十， 米率三十，退位求之，故惟云三、五也。〕 今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分 升之十七。

　　术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

　　〔淳风等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕 今有粟四斗五升，欲为米。问得几何？答曰：为米二斗一升五 分升之三。

　　术曰：以粟求米，十二之，二十五而一。

　　〔淳风等按：米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之。半所求之 率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五 而一也。〕 今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？答曰：为御米三斗三升五十分升之 九。

　　术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

　　今有粟一斗，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇>二升一十分升之 七。

　　术曰：以粟求小<麦啇>，二十七之，百而一。

　　〔淳风等按：小<麦啇>之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七， 为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。

　　他皆仿此。〕 今有粟九斗八升，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大<麦啇>一十斗五升 二十五分升之二十一。

　　术曰：以粟求大<麦啇>，二十七之，二十五而一。

　　〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求 米，半其二率。〕 今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。

　　术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

　　〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十 有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕 今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五 分升之二十二。

　　术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。

　　〔淳风等按：此术与大<麦啇>多同。〕 今有粟八斗六升，欲为饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二 十五分升之一十四。

　　术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。

　　〔淳风等按：<麦啇>饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕 今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升 之八。

　　术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

　　〔淳风等按：此术半率，亦与饭多同。〕 今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。

　　今有粟四斗一升太半升，欲为荅。问得几何？答曰：为荅三斗七升半。

　　今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？答曰：为麻四斗五升五分升之三。

　　今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？答曰：为麦九斗七升二 十五分升之一十四。

　　术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。

　　〔淳风等按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲 从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，义由于此。〕 今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？答曰：为稻九斗三十五分 升之二十四。

　　术曰：以粟求稻，六之，五而一。

　　〔淳风等按：稻率六十，亦约二率而乘除。〕 今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。

　　术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

　　今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗九升。

　　术曰：以粟求飧，九之，五而一。

　　〔淳风等按：飧率九十，退位，与求稻多同。〕 今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽八斗二升五分升之四。

　　术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

　　〔淳风等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率 既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。〕 今有粟二斗，欲为糵。问得几何？答曰：为糵七斗。

　　术曰：以粟求糵，七之，二而一。

　　〔淳风等按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数 二十五约之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕 今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问得几何？答曰：为粟二十五斗 九升。

　　术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

　　〔淳风等按：上术以粟求米，故粟为所有数，三为所求率，五为所有率。今 此以米求粟，故米为所有数，五为所求率，三为所有率。准都术求之，各合其数。

　　以下所有反求多同，皆准此。〕 今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三斗七升二十七分升之一。

　　术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

　　今有米三斗少半升，欲为粟。问得几何？答曰：为粟六斗三升三十六 分升之七。

　　术曰：以米求粟，二十五之，十二而一。

　　今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三十三斗三升少半升。

　　术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

　　今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？答曰：为粟 一十斗五升九分升之七。

　　术曰：以稻求粟，五之，六而一。

　　今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺 米一十七斗二升一十四分升之一十三。

　　术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。

　　〔淳风等按：粺米率二十七，合以此数乘粝米。术欲从省，先以等数三约 之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。〕 今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭一十六 斗一升半。

　　术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

　　〔淳风等按：粝饭之率七十有五，宜以本粝米乘此率数。术欲从省，先以等 数十五约之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，义由于此。〕 今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗一升三 十五分升之三十一。

　　术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

　　〔淳风等按：飧率九十，为粝饭所求，宜以粝饭乘此率。术欲从省，先以等 数十五约之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。〕 今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽二斗三升。

　　术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

　　〔淳风等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽数乘此 率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。〕 今有菽二斗，欲为豉。问得几何？答曰：为豉二斗八升。

　　术曰：以菽求豉，七之，五而一。

　　〔淳风等按：豉率六十三，为菽所求，宜以菽乘此率。术欲从省，先以等数 九约之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕 今有麦八斗六升七分升之三，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇> 二斗五升一十四分升之一十三。

　　术曰：以麦求小<麦啇>，三之，十而一。

　　〔淳风等按：小<麦啇>之率十三半，宜以母二通之，以乘本麦之数。术欲从 省，先以等数九约之，所求之率得三，所有之率得十也。〕 今有麦一斗，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大抃一斗二升。

　　术曰：以麦求大<麦啇>，六之，五而一。

　　〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四，合以麦数乘此率。术欲从省，先以等 数九约之，所求之率得六，所有之率得五也。〕 今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。

　　〔瓴甓，砖也。〕 问枚几何？答曰：一枚八钱九分钱之八。

　　今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？答曰：一个，五 钱四十七分钱之三十五。

　　经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一。

　　〔此术犹经分。

　　淳风等按：今有之义，以所求率乘所有数，合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。

　　但以一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按：此 今有之义。出钱为所有数，一枚为所求率，所买为所有率，而今有之，即得所求 数。一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率为法，以所出之钱为实，实如法得 一枚钱。不尽者，等数而命分。〕 今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之，问斗几何？ 答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。

　　今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？答曰：一丈， 一百一十八钱六十一分钱之二。

　　今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？答曰： 一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。

　　今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？ 答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。

　　术曰：以求所率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。

　　〔淳风等按：今有之义，钱为所求率，物为所有数，故以乘钱，又以分母乘 之为实。实如法而一，有分者通之。所买通分内子为所有率，故以为法。得钱数 不尽而命分者，因法为母，实余为子。实见不满，故以命之。〕 今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？答曰：其 四十八个，个七钱；其三十个，个八钱。

　　今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？ 答曰：其二钧八斤，斤五钱；其一石一十斤，斤六钱。

　　今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石 率之，问各几何？答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱；其一石一钧二 十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

　　今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧 率之，问各几何？答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱；其一石二钧二十 斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

　　今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤 率之，问各几何？答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱；其二十斤九两 一铢，斤六十八钱。

　　今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两 率之，问各几何？答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱；其一钧一 十斤五两四铢，两五钱。

　　其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法 而一。不满法者，反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、 实，各得其积数，余各为铢。